来看看一题高大上的数学题

侦探青檀

解方程x^x^x^x^……(无穷个x) = 2，不难看出第一个x的次数正是2，于是有x^2 = 2，x = √2。但是假如用同样的方法解 x^x^x^x^…… = 4，会得到x^4 = 4，x = √2。问 ：√2^√2^√2^√2^…… 究竟是等于2还是4，或者别的数？（提示：这个数是收敛的）

DeIn

高一无力，数，收敛是啥。。。。。。。。。这题我估计发在贝克街会有不错的效益（赶脚那里全是学霸）

侦探青檀

DeIn 发表于 2014-7-18 15:02
高一无力，数，收敛是啥。。。。。。。。。这题我估计发在贝克街会有不错的效益（赶脚那里全是学霸）

支持转帖，话说这题太强大了

DeIn

首先,在涉及a^b^c这样的式子时,个人建议提下结合的方向.

其次,条件中的
"x^x^x^x^…… = 2 ==> x = √2"
和
"x^x^x^x^…… = 4==> x = √2"
都是真命题,没有任何矛盾.
对于以为这就有矛盾的人,呃..我也没啥好说的.

第三,
"x^x^x^x^…… = 2 ==> x = √2"和"x^x^x^x^…… = 4==> x = √2"
与
"√2^√2^√2^√2^…… 等于几"
没有任何值得一提的联系.
所以,从
"x^x^x^x^…… = 2 ==> x = √2"和"x^x^x^x^…… = 4==> x = √2"
出发来询问
"√2^√2^√2^√2^…… 究竟是等于2还是4，或者别的数"
没有什么值得一提的逻辑.
ps.这些主要是纯粹针对
从
"x^x^x^x^…… = 2 ==> x = √2"和"x^x^x^x^…… = 4==> x = √2"
出发来询问
"√2^√2^√2^√2^…… 究竟是等于2还是4，或者别的数"
所提出的.

如果问题全文仅仅是"√2^√2^√2^√2^…… 等于几(已知此数存在)",
或者是更标准些的说法:
"记a[1]=√2,a[n+1]=(√2)^a[n] (n∈Z+),求lim(a[n], n->+∞).(提示:此极限存在)",
那么我不会回复那些东西.

回答者——天马行空

喵喵杀手

DeIn 发表于 2014-7-18 20:57
首先,在涉及a^b^c这样的式子时,个人建议提下结合的方向.

其次,条件中的

我和我的小伙伴们惊呆了！哇塞

DeIn

喵喵杀手 发表于 2014-7-18 20:59
我和我的小伙伴们惊呆了！哇塞

回复转载。。。。。。。

侦探青檀

DeIn 发表于 2014-7-18 20:57
首先,在涉及a^b^c这样的式子时,个人建议提下结合的方向.

其次,条件中的

那个人是学霸吗，表示被吓到了

侦探青檀

设an=√2^√2^√2^...(n个√2)，用数学归纳法不难证明an是递增的，同时假如把最上面的√2换成2，那么整个数都变成2，所以有an<2。因为单调有界数列必有极限，所以an的极限存在。
设an的极限为y，那么y就是满足√2=y^(1/y)的数，研究函数z=y^(1/y)，求导可以知道当0<y<e时z单调递增，y>e时z单调递减，当y=e时有最大值e^(1/e)（大于√2），由此可知满足√2=y^(1/y)的y最多只能有两个，由题目知这两个数是2和4。同时前面已经证明了y不可能大于2，所以排除了4，因此有√2^√2^√2^√2^……=2。
（答案）