海盗分金的完整解析版

回忆 · 发表于 2014-6-3 12:14:48

前提：有100块金币
N个海盗，每个都是很聪明并且很怕死当然也很贪婪。
他们都要遵循以下规则来分：
首先由大海盗提出分金的方案，然后由剩下的海盗进行表决
如果有一半或以上的海盗同意，则按该方案分金。
如果有超过半数的海盗不同意该方案，则大海盗就要被扔下海去（一定死）
接着由二海盗提出方案，剩下的再表决……
方法一样，如果二海盗的方案得不到剩下的海盗一半或以上的人同意
则二海盗被扔下海，轮到三海盗提出方案……
规则就是这样一直轮流下去，直到某个海盗的方案通过为止。
分金方案只能是某某海盗得多少金，而不能涉及其它内容

问题：如果你是大海盗，你如何提出方案，保证自己能得到最大利益而又能保存生命。

完整解析
假设只有两名海盗，（编号为1号和2号，上级即‘大海盗’是2号），2号的最佳分配方案是所有的金币归他一人所有，1号什么也得不到。由于2号自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的一半，因此方案通过。
如果再加上一个上级（3号），那么最低级的1号很明白，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而1号扩大一无所获——此外，3号也明白1号了解这一形势。因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么1号肯定投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金币来贿赂1号，这样就有了这样的分配方案：
1号得一块金币；2号一无所获；3号得到99块金币。
如果是4人，4号的策略也差不多。他需要一半的支持票，因此同3号一样也需要再找一人做同党。他需要贿赂的人是2号，因为如果4号被否决而3号按照上面的方案得以通过，则2号得不到1块，而且，2号深知这一点。因此，4号的分配方案是：
1号一块不得；2号得1块；3号也是一块不得；4号得99块。
如果5人，5号的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，因此他至少得用2块金币来贿赂，才使自己的方案得以通过。如同上面的思路，他的分配方案是：
1号一块；3号一块；98块归自己。
这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。每个分配方案都是惟一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金币，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去。前面所述的规律直到200号都成立。200号的方案是：
从1到199号所有奇数号的海盗都一无所获；从2到198号所有偶数号的海盗各得到1块金币；剩下的1块归200号自己所有。
而201号拿不出更多的皮货来收买其他人。但是即使分不到皮货，201号至少还希望自己不死，因此他可以这样分配：
给1到199所有奇数号海盗每人1块金币，其他人（包括自己）一块也不要。
202号同样别无选择，只能一块也不要——他必须把这100块金币全部用来贿赂100名船员。而203号必须获102张赞成票，但他显然没有足够的皮货去贿赂101名海盗。因此，他无论提出什么样的分配方案，他注定会死。
可现在204号知道，203号为了能不死，就必须必须由204号自己提出分配方案这么一种局面。所以无论204号提出什么样的203号都会头赞成票，这样204号可以得到自己1票、203号1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票，刚好达保命所需的一半。
205号可没有这么走运。他不能指望203号和204号支持他的方案，因为如果他们投票反对205号方案，就可以幸灾乐祸地看到205号死，而他们自己却仍然能够保全。这样无论205号提出什么方案都必死。206、207也是如此。
208有是来运转了。他需要104张赞成票，而205、206、207号都会支持他，加上他自己的一票及贿赂到的100票，他得以过关。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人（候选人包括2到200号所有偶数号的海盗，以及201、203、204号）。
现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能通过的海盗（他们的分配方案全都是把金币用来贿赂100名同伙而自己一点得不到）相隔距离越来越远，而在他们之间的船员则无论提出什么样的方案都会死，因此他们必会投票支持最高一级的海盗提出的任何分配方案。
200号以后方案能通过的有：
201、202、204、208、216、232、264、328、456、号……
即其号码等于200加2的N次方的海盗。而从456到500的所有人都必死。500号以上也依次类推。
当然，此类题目的金币数及人数都可能变化，但其总的规律是不变的。